Расчеты электрической цепи постоянного тока. Расчет электрических цепей. Как получается постоянный ток
05.12.2014
Урок 25 (9класс)
Тема. Расчет простых электрических цепей
Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определиться к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.
К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.
Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:
1. Сначала упрощают схему последовательно преобразовав все пассивные элементы схемы в один эквивалентный резистор. Для этого необходимо выделять участки схемы, на которых резисторы соединены последовательно или параллельно, и по известным формулам заменять их эквивалентными резисторами (сопротивлениями). Цепь постепенно упрощают и приводят к наличию в цепи одного эквивалентного резистора.
2. Далее подобную процедуру проводят с активными элементами электрической цепи (если их количество более одного источника). По аналогии с предыдущим пунктом упрощаем схему до тех пор, пока не получим в схеме один эквивалентный источник напряжения.
3. В итоге мы приводим любую простую электрическую схему к следующему виду: 
Теперь есть возможность применить закон Ома - соотношение (1.22) и фактически определить значение тока протекающего через источник электрической энергии.
сочетанДомашнее задание
1. Ф.Я.Божинова, Н.М.Кирюхин, Е.А.Кирюхина. Физика, 9 класс, «Ранок», Харьков, 2009. § 13-14 (с.71-84) повторить.
2. Упражнение 13 (задача 2, 5), упражнение 14(задача 3, 5, 6) решить.
3. Переписать в рабочую тетрадь задачи 1, 3, 4 (см. следующие страницу).
ии с составлением баланса
Пи постоянного тока. Примеры решенных задач
Введение
Решение задач - неотъемлемая часть обучения физике, поскольку в процессе решения задач происходит формирование и обогащение физических понятий, развивается физическое мышление учащихся и совершенствуется их навыки применения знаний на практике.
В ходе решения задач могут быть поставлены и успешно реализованы следующие дидактические цели:
- Выдвижение проблемы и создание проблемной ситуации;
- Обобщение новых сведений;
- Формирование практических умений и навыков;
- Проверка глубины и прочности знаний;
- Закрепление, обобщение и повторение материала;
- Реализация принципа политехнизма;
- Развитие творческих способностей учащихся.
Наряду с этим при решении задач у школьников воспитываются трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели. Для реализации перечисленных целей особенно удобно использовать нетрадиционные задачи.
Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока
По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, поэтому учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Но часто такие типы задач встречаются олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.
К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:
2) симметричны;
3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.
В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.
Метод эквивалентных схем
Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.
Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.
Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.
Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.
Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла
несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.
Рассмотрим примеры решения задач эти методом.
З а д а ч а №1
Решение:
В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:
Сопротивление которой равно:
RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.
З а д а ч а № 2
Решение :
В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:
Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:
1/R1=1/2r+1/r=3/2r
С учетом этого получается новая эквивалентная схема:
Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:
1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r
З а д а ч а № 3 .
Решение:
Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:
Искомое сопротивление RАВ равно:
1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r
З а д а ч а № 4.
Решение:
Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:
Сопротивление на участке А-1, R 1-равно сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:
Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.
Теперь получается эквивалентная схема:
Общее сопротивление RАВ равно:
RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.
З а д а ч а № 5.
Решение:
Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь следующий вид:
Сопротивление на участке АС:
Сопротивление на участке FN:
Сопротивление на участке DB:
Получается эквивалентная схема:
Искомое общее сопротивление равно:
Задача №6
Решение:
Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О 1 , О 2 . Получим эквивалентную систему:
Сопротивление на участке ABCD:
Сопротивление на участке A`B`C`D`:
Сопротивление на участке ACВ
Получаем эквивалентную схему:
Искомое общее сопротивление цепи R AB равно:
R AB = (8/10)*r.
Задача №7.
Решение :
“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О 1 и О 2 . Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:
Сопротивление этой схемы R 1 равно:
Тогда сопротивление всей цепи будет равно:
З а д а ч а №8
Решение:
Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:
Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно:
Сопротивление участка I-5-6- II равно:
Cопротивление участка I- II равно.
Законы Кирхгофа.
∑I=0
∑E=∑IR
Порядок расчета
- Произвольно выбираем направление тока в ветвях.
- Произвольно выбираем направление обхода контуров.
- Зная полярность источников, проставляем направление ЭДС.
- Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Их должно быть но одно меньше, чем узлов.
- Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа из расчета, что общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
- Решаем систему уравнений и определяем неизвестные токи. Если в результате решения какой-либо ток окажется со знаком «-», то направление его противоположно выбранному.
Приведем пример.
Дано:
- 1 =r 2 =0;
- 1 =0,3 Ом;
- 2 =1 Ом;
- 3 =24 Ом;
Е 1 =246 В;
Е 2 =230В
Найти:
I 1 ,I 2 ,I 3 .
Решение:
Итак, на схеме рисуем направления токов (1), согласно этим направлениям рисуем направления обхода контуров (2), согласно полярности источников питания ставим направления ЭДС (3).
Согласно первому закону Кирхгофа:
I 1 -I 2 -I 3 =0 → -I 2 =I 3 -I 1
Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3
Е 2 =-I 2 R 2 +I 3 R 3
Получили систему из трех уравнений. Решаем.
E 2 =(I 3 -I 1)R 2 +I 3 R 3
230=I 3 (1+R 3)-I 1 =25I 3 -I 1 → I 1 = 25I 3 -230
E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3 =(25I 3 -230)R 1 +I 3 R 3
246=0,3(25I 3 -230)+24I 3
246=7,5I 3 -69+24I 3
31,5I 3 =315
I 3 =10A
I 1 =25∙10-230=20A
I 2 =I 1 -I 3 =20-10=10A
2. Метод контурных токов
Этот метод основан на законе Кирхгофа
- Произвольно выбираем направления контурных токов (рис.2)
- Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.
E 1 -E 2 =I 1 (R 1 +R 2)-I 2 R 2
E 2 =I 2 (R 2 +R 3)-I 1 R 2
246-230=I 1 (0,3+1)-I 2 → 16=1,3I 1 -I 2 → I 2 =1,3I 1 -16
230=25(1,3I 1 -16)-I 1
31,5I 1 =630
I 1 =20A
I 2 =1,3∙20-16=10A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I 1 =20A
I 2 =I 1 -I 2 =10A
I 3 =I 2 =10A
3. Метод двух узлов
Этот метод применим для схем, имеющих два узла
- Выбираем произвольно направления токов в ветвях в одну и ту-же сторону (см. рис.3 - стрелки со штрихами).
- Определяем проводимости ветвей:
Q 1 =1/R 1 =1/0,3=3,33 Сим.
Q 2 =1/R 2 =1 Сим.
Q 3 =1/R 3 =1/24=0,0416 Сим.
- Определяем напряжение между двумя узлами по формуле:
U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3,31+230)/4,3716=240 В
- Определяем токи в ветвях
I=(E-U)q
I 1 =(E 1 -U)q 1 =(246-240)3,33=20A
I 2 =(E 2 -U)q 2 =230-240=-10A
I 3 =-Uq 3 =240∙0,0416=-10А
Так как, значения I 2 и I 3 получились отрицательными, то эти токи будут противоположными по направлению (на рисунке показаны жирные сплошные стрелки).
4. Метод наложения или метод суперпозиции
Метод основан на том, что любой ток в цепи создается совместным действием всех источников питания. Поэтому можно рассчитать частичные токи от действия каждого источника питания отдельно, а затем, найти истинные токи как арифметическую составляющую частичных.
Решение
1. Рис. 4. Е 2 =0; r 2 ≠0
R э =R 2 R 3 /(R 2 +R 3)+R 1 =24/25+0,3=0,96+0,3=1,26 Ом
I’ 1 =E 1 /R э =246/1,26=195,23 Ом
U ab =I’ 1 R 23 =195,23∙0,96=187,42 В
I’ 2 =U ab /R 2 =187,42 A
I’ 3 = U ab /R 3 =187,42/24=7,8 A
2. Рис. 5. E 1 =0; R 1 ≠0
R э =R 1 R 3 /(R 1 +R 3)+R 2 =0,3∙24/24,3+1=0,29+1=1,29 Ом
I” 2 =E 2 /R э =230/1,29=178,29 A
U ab =I” 2 R 13 =178,29∙0,29=51,7 В
I” 1 =U ab /R 1 =51,7/0,3=172,4 A
I” 3 =U ab /R 3 =51,7/24=2,15 A
3. Определяем истинные токи.
I 1 =I’ 1 -I” 1 =195,23-172,4=22,83 A
I 2 =I’ 2 -I” 2 =187,42-178,29=9,13 A
I 3 =I’ 3 -I” 3 =7,8-2,15=5,65 A
Расчет электрических цепей постоянного токаОсновными законами, определяющими расчет электрической цепи , являются законы Кирхгофа.
На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока , позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.
Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.
Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда » в эквивалентный «треугольник » и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.
В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.
Решение задач
Задача 1. Для цепи (рис . 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g , если известно: R 1 = R 2 = 0,5 Ом, R 3 = 8 Ом, R 4 = R 5 = 1 Ом, R 6 = 12 Ом, R 7 = 15 Ом, R 8 = 2 Ом, R 9 = 10 Ом, R 10 = 20 Ом.
Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g :
Задача 2. Для цепи (рис . 2, а ), определить входное сопротивление если известно: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 40 Ом.
Рис. 2
Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис . 2, б ), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивления можно воспользоваться формулой:
где R - величина сопротивления, Ом;
n - количество параллельно соединенных сопротивлений.
Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-b , если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 = 10 Ом (рис . 3, а ).
Преобразуем соединение «треугольник » f−d−c в эквивалентную «звезду ». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис . 3, б ):
По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:
На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e-b , тогда эквивалентное сопротивление равно:
И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:
Задача 4. В заданной цепи (рис . 4, а ) входные сопротивления ветвей a− b , c- d и f−b , если известно, что: R 1 = 4 Ом, R 2 = 8 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 2 Ом, R 6 = 8 Ом, R 7 = 6 Ом, R 8 =8 Ом.
Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d , а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.
Ветвь a− b разрывают, и т.к. сопротивление R a -b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис . 4, б ):
Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R cd и R bf . Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает ») из схемы сопротивления R 1 , R 2 , R 3 , R 4 в первом случае, и R 5 , R 6 , R 7 , R 8 во втором случае.
Задача 5. В цепи (рис . 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I 1 , I 2 , I 3 и составить баланс мощностей , если известно: R 1 = 12 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, U = 120 В.
Эквивалентное сопротивление для параллельно включенных сопротивлений:
Эквивалентное сопротивление всей цепи:
Ток в неразветвленной части схемы:
Напряжение на параллельных сопротивлениях:
Токи в параллельных ветвях:
Баланс мощностей :
Задача 6. В цепи (рис . 6, а ), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра , если известно: R 1 = 2 Ом, R 2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом, R 4 = 40 Ом, R 5 = 10 Ом, R 6 = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.
Если сопротивления R 2 , R 3 , R 4 , R 5 заменить одним эквивалентным сопротивлением R Э , то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис . 6, б ).
Величина эквивалентного сопротивления:
Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R Э и R 6 схемы (рис . 6, б ), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:
откуда ток I 1:
Напряжение на зажимах параллельных ветвей U ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R Э и R 6:
Тогда амперметр покажет ток:
Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис . 7, а ), если R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 3 Ом, J = 5 А, R 5 = 5 Ом.
В зависимости от числа источников ЭДС (питания) в схеме, ее топологии и других признаков цепи анализируются и рассчитываются различными методами. При этом известными обычно являются ЭДС (напряжения) источников электроэнергии и параметры цепи, расчетными - напряжения, токи и мощности.
В этой главе мы ознакомимся с методами анализа и расчета цепей постоянного тока различной сложности.
Расчет цепей с одним источником питания
Когда в цепи имеется один активный элемент (источник электроэнергии), а другие являются пассивными, например резисторы /? t , R 2 ,..., то цепи анализируются и рассчитываются методом преобразования схем , сущность которого заключается в преобразовании (свертке) исходной схемы в эквивалентную и последующем разворачивании, в процессе которых определяются искомые величины. Проиллюстрируем этот метод для расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением резисторов.
Цепь с последовательным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От идеализированного источника ЭДС Е (R 0 = 0), на выходных зажимах которого имеется напряжение U, т.е. когда E=U , через последовательно соединенные сопротивления R { , R 2 ,..., R n питается нагрузка (приемник) с сопротивлением R H (рис. 2.1, а).
Рис . 2.1
Требуется найти напряжение, сопротивление и мощность цепи эквивалентной заданной, изображенной на рис. 2.1, б, делая соответствующие выводы и обобщения.
Решение
А. При известных сопротивлениях и токе напряжения на отдельных элементах цепи, согласно закону Ома, находились бы так:
Б. Общее напряжение (ЭДС) цепи, согласно второму закону Кирхгофа, запишется так:
Г. Умножив все члены (2-2) на ток / или (2-5) на Р, будем иметь откуда
В. Разделив все члены (2-2) на ток /, получим где
Формулы (2-3), (2-5), (2-7) показывают, что в цепи с одним источником питания и последовательным соединением сопротивлений эквивалентные напряжение, сопротивление и мощность равны арифметическим суммам напряжений, сопротивлений и мощностей элементов цепи.
Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.1, а с сопротивлениями /? 2 , R„ можно заменить (свернуть) простейшей по рис. 2.1, б с эквивалентным сопротивлением R 3 , определяемым по выражению (2-5).
а) для схемы по рис. 2.1, б справедливы соотношения U 3 = U = RI , где R = R 3 + R u . Исключив из них ток /, получим выражение
которое показывает, что напряжение U 3 на одном из сопротивлений цепи, состоящей из двух, соединенных последовательно, равно произведению общего напряжения U на отношение сопротивления этого участка R 3 к общему сопротивлению цепи R. Исходя из этого
б) ток и напряжения в цени но рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:
Решенные задачи
Задача 2.1. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. 2.1, а, если I = 1 A, R x = 1 Ом, Д 2 = 2 Ом, = 3 Ом, R u = 4 Ом?
Решение
Напряжения на резисторах, очевидно, будут равны: U t =IR^ = 1 1 = 1 В, U 2 = IR 2 = = 1 2 = 2 В, U n = /Л я = 1 3 = 3 В, t/ H = ZR H = 1 4 = 4 В. Эквивалентное сопротивление цепи: R 3 = R { + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Сопротивление, напряжение и мощность цепи: /? = &, + /?„ = 6 + 4= 10 Ом; U= U { + U 2 + U„+U n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, или U=IR = = 1 10= 10 В; Р= Ш= 10 - 1 = 10 Вт, или Р= UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 Вт, или Р = PR X + PR 2 + PR a + PR n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 Вт, или Р = Щ /R x +U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12 / 1 + 22/2 + 32/3 + 42 /4 = 10 Вт.
Задача 2.2. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R { = Ом, R 2 = 2 Ом, = = 3 Ом, R H = 4 Ом. Определить U 2 .
Решение
R = /?! + /?, + Л 3 + Л 4 = Л,+ Л Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, // 2 = Л? 2 = 11 2 = 22 В или U 2 =UR 2 /R = 110 2 / 10 = 22 В.
Задачи, требующие решения
Задача 2.3. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R^ = Ом, R 2 = 2 Ом, R n = = 3 Ом, R u = 4 Ом. Определить Р„.
Задача 2.4. В цепи по рис. 2.1, б известны: U= 110 В, U H = 100 В, = 2 Ом. Определить Р э.
Задача 2.5. В цепи по рис. 2.1,6 известны: U= 110 В, R t = 3 Ом, Д н = 2 Ом. Определить }